درسنامه آموزشی فصل پنجم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی
درس 1: مفهوم حد و فرآیندهای حدی
بیشتر پدیدههای طبیعی و مسائل محیط پیرامون را میتوان مدلسازی نمود و مدل ریاضی بسیاری از این پدیدهها، بهصورت یک تابع در میآید.
گاهی اوقات لازم است، برای تحلیل یک پدیده، رفتار تابع متناظر آن را در نزدیکی یک نقطه مورد ارزیابی قرار دهیم. مفهوم «حد» ابزار مناسبی است که میتواند در تحلیل رفتار تابع به ما کمک شایانی بنماید.
فعالیت (صفحه 114 کتاب درسی)
در شکل زیر، شعاع دایرهها، برابر 1 واحد است.
1) با افزایش اضلاع چند ضلعیهای محاط در دایره، مساحت چند ضلعی به مساحت چه شکلی نزدیک میشود؟
2) مساحت دایرهای به شعاع 1 چقدر است؟
3) اگر مقدار تقریبی عدد $\pi $ تا 5 رقم اعشار را برابر $\pi = 3/14159$ در نظر بگیریم و مساحت $n$ ضلعی منتظم واقع در درون دایره را با ${A_n}$ نشان دهیم، جدول زیر مقادیر ${A_n}$ را به ازای برخی $n \in \mathbb{N}$ نشان میدهد:
| 1000 | 500 | 400 | 300 | 200 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | $n$ |
| 3/14157 | 3/14150 | 3/14146 | 3/14136 | 3/14107 | 2/93892 | 2/89254 | 2/82842 | 2/73608 | 2/59807 | 2/37764 | 2 | 2/29903 | ${A_n}$ |
4) با توجه به این جدول، هرچه تعداد اضلاع چندضلعیهای داخل دایره زیاد میشود، جملات دنباله ${A_n}$ (مساحت $n$ ضلعی درون دایره) به عدد...که برابر مساحت دایره است نزدیک میشوند.
خواندنی
عدد $\pi $ (پی) سرگذشتی حداقل 3700 ساله دارد. پی یکی از مشهورترین عددها در دنیای ریاضی است و با نماد $\pi $، یکی از حروف الفبای یونانی نشان داده میشود. سادهترین و بهترین راه معرفی $\pi $ این است:
$\pi $ یک عدد گنگ است و در طول این 37 قرن، دانشمندان زیادی سعی کردهاند مقدار دقیق آن را حساب کنند. قدیمیترین محاسبهٔ بهدست آمده، به 1700 سال قبل از میلاد مربوط می شود. این محاسبات روی پاپیروسی نوشته شده است که درحال حاضر، در موزهای در «مسکو» نگهداری میشود.حدود 240 سال قبل از میلاد، ارشمیدس اولین روش کلاسیک را برای تعیین مقدار تقریبی عدد $\pi $ ارائه داد.
ارشمیدس با استفاده از چندضلعیهای محاطی و محیطی درون و بیرون یک دایره به شعاع واحد به محاسبه تقریبی عدد $\pi $ پرداخت. او با 6 ضلعی منتظم شروع و مرتباً تعداد اضلاع را دو برابر کرد و با استفاده از 96 ضلعیهای منتظم محیطی و محاطی مقدار $\pi $ را با تقریب بسیار خوبی $(3/1058 \lt \pi \lt 3/2150)$ بهدست آورد.
غیاث الدین جمشید کاشانی معروف به «الکاشی» در کتاب رسالهٔ محیطیه $\pi $ را تا 17 رقم پس از ممیز حساب کرده است.
اگر میخواهید عدد $\pi $ را تا ده رقم اعشار به خاطر بسپارید تعداد حروف کلمات، در بیت دوم این شعر به شما کمک خواهد کرد:
$\pi = 3/1415926535...$
فعالیت (صفحه 115 کتاب درسی)
یک مثلث متساویالاضلاع به طول ضلع 2 را درنظر بگیرید، اندازه محیط این مثلث برابر 6 میباشد.
1) مطابق شکل، وسط اضلاع را به هم وصل میکنیم تا مثلث جدیدی ایجاد شود، اندازه ضلع مثلث جدید را ${x_1}$ و اندازه محیط آن را ${P_1}$ مینامیم.
در این صورت داریم: ${x_1} = ...........$ و ${P_1} = ...........$
2) اگر عمل وصل کردن وسط ضلعهای مثلثهای جدید را ادامه دهیم و در مرحله $n$ام طول ضلع مثلث بهوجود آمده را با ${x_n}$ و محیط آن را با ${P_n}$ نمایش دهیم، با توجه به شکلهای زیر، جدول داده شده را تکمیل کنید:
| $\frac{1}{{{2^n}}}$ | .... | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | ${x_n}$ | ||
| .... | $\frac{3}{4}$ | $\frac{3}{2}$ | 3 | ${P_n}$ |
3) اندازه اضلاع مثلثها، به چه عددی نزدیک میشوند؟
4) اندازه محیط این مثلثها، به چه عددی نزدیک میشوند؟
در فعالیت قبل، اگر طول ضلع اولیه را $x$ در نظر بگیریم و $f$ تابعی باشد که محیط مثلث را برحسب ضلع آن بیان میکند، آنگاه داریم $f(x) = 3x$.
همانطور که مشاهده کردیم، وقتی طول ضلع مثلثها (مقدار تقریبی $x$) به عدد صفر نزدیک میشود، محیط مثلثها، یعنی مقادیر تابع $f$، نیز به عدد صفر نزدیک میشوند.
مثال: رفتار تابع $f$، با ضابطه $f(x) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}$ را در اطراف نقطه $a = 2$ بررسی نمایید.
حل: تابع $f$، به ازای هر عدد حقیقی $x$ به جز $x = 2$ تعریف شده است. به ازای هر $x \ne 2$، ضابطه تابع را میتوان ساده کرد و بهصورت زیر نوشت:
$f(x) = \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x - 2}}$
در جدول زیر، مقادیر تابع $f$ را به ازای برخی مقادیر کوچکتر از 2، که به تدریج از سمت چپ به عدد 2 نزدیک میشوند، و نیز برخی مقادیر بزرگتر از 2، که به تدریج از سمت راست به 2 نزدیک میشوند، محاسبه کردهایم:
با توجه به جدول فوق، مشاهده میکنیم که، با نزدیک شدن $x$ به عدد 2 (از راست و از چپ) مقادیر $f(x)$، به عدد 4 نزدیک میشوند.
درستی این مطلب را از روی نمودار تابع نیز میتوان دید:
نمودار تابع $f$، خط راست $y = x + 2$ است که یک نقطه از آن، یعنی نقطه $(2,4)$ حذف شده است.
با وجود اینکه مقدار تابع در نقطهٔ 2 تعریف نشده است ولی با توجه به نمودار تابع، وقتی $x$ را با مقادیر بزرگتر و یا کوچکتر از 2 (اما مخالف 2) به عدد 2 نزدیک میکنیم، مقادیر تابع $f$ به عدد 4 نزدیک میشوند. به عبارت دیگر وقتی $x \to 2$ (یعنی $x$ به سمت 2 میل میکند)، مقادیر تابع $f$ به عدد 4 نزدیک میشوند. در این صورت میگوییم، حد تابع $f$ وقتی $x$ به 2 نزدیک میشود برابر 4 است و مینویسیم:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 4$
در مثال بالا، رفتار تابعی مانند $f$ را در اطراف نقطهای مانند $a$ بررسی و مشاهده کردیم که وقتی متغیر $x$ به $a$ نزدیک میشود مقادیر تابع $f$ نیز به یک عدد مشخص، نزدیک میشوند. این مفهوم را «حدگیری» از تابع $f$ در نقطه $a$ مینامیم.
کاردرکلاس (صفحه 117 تا 118 کتاب درسی)
توابع $f$، $g$ و $h$ با ضابطههای $f(x) = x + 3$، $g(x) = \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}$ و $h(x) = \left\{ \begin{gathered}
x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 3 \hfill \\
4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ را درنظر بگیرید:
1) مقادیر زیر را در صورتی که تعریف شده باشند بهدست آورید:
$f(3) = .......$
$g(3) = .......$
$h(3) = .......$
2) با تکمیل جدول زیر، حدس بزنید که وقتی مقادیر $x$ را به عدد 3 نزدیک میکنیم، مقادیر توابع $f$، $g$ و $h$ هرکدام به چه عددی نزدیک میشوند.
| 3/1 | 3/01 | 3/001 | 3/0001 | 3/00001 | $ \leftarrow $ | 3 | $ \to $ | 2/9999 | 2/999 | 2/99 | 2/9 | $x$ |
| 6/1 | 6/01 | 6/001 | 6/0001 | 6/00001 | $ \leftarrow $ | $?$ | $ \to $ | 5/9999 | 5/999 | 5/99 | 5/9 | $f(x)$ |
| .... | .... | .... | .... | .... | $ \leftarrow $ | $?$ | $ \to $ | .... | .... | .... | .... | $g(x)$ |
| .... | .... | .... | .... | .... | $ \leftarrow $ | $?$ | $ \to $ | .... | .... | .... | .... | $h(x)$ |
3) نمودارهای توابع $f$، $g$ و $h$ به صورت زیر رسم شده است.
از روی نمودار، توضیح دهید که وقتی مقادیر $x$ را به 3 نزدیک میکنیم، مقادیر $f(x)$، $g(x)$ و $h(x)$ هرکدام به چه عددی نزدیک میشوند.
4) حد هر سه تابع وقتی $x$ به عدد 3 نزدیک میشود برابر ..... است به عبارت دیگر:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = .......$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = .......$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} h(x) = .......$
5) با توجه به جدول بالا و نمودار و ضابطه سه تابع، تفاوتها و شباهتهای این سه تابع را بیان کنید.
از کار در کلاس قبل نتیجه میگیریم که:
الف) ممکن است یک تابع در نقطه $a$ تعریف نشده باشد، اما حد این تابع وقتی $x$ به $a$ نزدیک میشود موجود باشد. (مانند تابع $g$ در نقطه 3)
ب) ممکن است یک تابع در نقطه $a$ تتعریف شده باشد و در این نقطه دارای حد نیز باشد، ولی مقدار این حد با مقدار تابع در $a$ برابر نباشد. (مانند تابع $h$ در نقطه 3).
در حقیقت با اینکه سه تابع داده شده از نظر مقدار در نقطه 3 با هم متفاوتاند و حتی تابع $g$ در نقطه 3 تعریف نشده است ولی در اطراف نقطه 3 رفتار کاملاً یکسانی دارند، یعنی حد هر سه تابع وقتی $x$ به 3 نزدیک میشود برابر با 6 است.
با توجه به مفهوم حد، به نظر میرسد برای آنکه بتوان مقادیر متغیر را از دو طرف (چپ و راست) به عددی مانند $a$، نزدیک نمود، کافی است تابع مورد نظر در یک بازهٔ باز شامل $a$ تعریف شده باشد. البته در محاسبه حد تابع در نقطه $a$، رفتار تابع در دو طرف نقطه $a$ اهمیت دارد، پس لزومی ندارد خود $a$ در دامنه تابع باشد. بنابراین لازم است به تعریف همسایگی یک نقطه که یکی از مفاهیم اساسی برای تعریف حد تابع در یک نقطه میباشد بپردازیم:
تعریف
اگر ${x_0}$ یک عدد حقیقی باشد، هر بازهٔ باز شامل ${x_0}$ را یک همسایگی ${x_0}$ مینامیم.
بنابراین اگر ${x_0} \in (a,b)$، آنگاه بازهٔ $(a,b)$ یک همسایگی ${x_0}$ است.
اگر نقطه ${x_0}$ را از این بازه حذف کنیم، مجموعه $(a,b) - \left\{ {{x_0}} \right\}$ را همسایگی محذوف ${x_0}$ مینامیم.
به همین ترتیب:
اگر $r \gt 0$، در این صورت بازه $({x_0},{x_0} + r)$ را یک همسایگی راست و بازهٔ $({x_0} - r,{x_0})$ را یک همسایگی چپ ${x_0}$ مینامیم.
کاردرکلاس (صفحه 119 کتاب درسی)
1) یک همسایگی، یک همسایگی محذوف، یک همسایگی راست و یک همسایگی چپ برای 3، مثال بزنید.
2) آیا بازهٔ $(2,3)$ یک همسایگی 2 میباشد؟ چرا؟
کاردرکلاس (صفحه 119 تا 120 کتاب درسی)
1) نمودار تابعی مانند $f$ را رسم کنید که در همسایگی راست نقطه 2- تعریف شده باشد ولی در همسایگی چپ آن تعریف نشده باشد.
2) نمودار تابعی را رسم کنید که در نقطه 1 دارای حد باشد ولی حد آن با مقدار تابع در این نقطه برابر نباشد.
3) نمودار دو تابع $f$ و $g$ را طوری رسم کنید که هر دو در یک همسایگی نقطه 3 تعریف شده باشند و $f(3) \ne g(3)$.
4) نمودار دو تابع $f$ و $g$ را طوری رسم کنید که هر دو در نقطه 2 دارای حد یکسان باشند و $f$ در 2 تعریف شده باشد اما تابع $g$ در 2 تعریف نشده باشد.
5) تابع $f$ با ضابطه $f(x) = \frac{{\sin x}}{x}$ در نقطه صفر تعریف نشده است. در جدول زیر برخی مقادیر این تابع در اطراف صفر داده شده است. با توجه به جدول و نمودار تابع $f$، مقدار $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}$ را بهدست آورید. (محور $x$ها برحسب رادیان است).
| $\frac{{\sin }}{x}$ | $x$ |
| 0/84147098 | $ \pm 1$ |
| 0/95885108 | $ \pm 0/5$ |
| 0/97354586 | $ \pm 0/4$ |
| 0/98506736 | $ \pm 0/3$ |
| 0/99334665 | $ \pm 0/2$ |
| 0/99833417 | $ \pm 0/1$ |
| 0/99958339 | $ \pm 0/05$ |
| 0/99998333 | $ \pm 0/01$ |
| 0/99999583 | $ \pm 0/005$ |
| 0/99999983 | $ \pm 0/001$ |
مثال: آیا تابع $f(x) = \sqrt {2 - x} $ در نقطه $x = 2$ حد دارد؟ چرا؟
حل: میدانیم دامنه تابع بهصورت ${D_f} = \left( { - \infty ,2} \right]$ میباشد. چون تابع $f$ در هیچ همسایگی محذوف 2، تعریف نشده است (مقادیر بیشتر از 2 در دامنه تابع نیست) بنابراین، تابع $f$ در نقطه $x = 2$ حد ندارد.
تمرین (صفحه 120 تا 122 کتاب درسی)
1) نمودار سه تابع $f$، $g$ و $h$ بهصورت زیر داده شده است. مقدار حد این توابع را در نقطهٔ $x = 5$ مشخص کنید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} h(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} g(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f(x) = ....$
2) با استفاده از نمودار، مقدار حد توابع زیر را، در صورت وجود، در نقاط داده شده بهدست آورید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ( - {x^2} + 2x + 4) = $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x + 1) = $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \sqrt {x + 1} = $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = $
3) با تکمیل هر یک از جدولهای زیر، مقدار حد هر تابع را در نقطهٔ مورد نظر بیابید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( - 3x + 4) = ....$ (الف
| 1 | 0/5 | 0/1 | 0/01 | 0/001 | $ \leftarrow $ | 0 | $ \to $ | 0/01- | 0/1- | 0/9- | 1- | $x$ |
| .... | .... | .... | .... | .... | $ \leftarrow $ | $?$ | $ \to $ | .... | .... | .... | .... | $f(x)$ |
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
x - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne - 1 \hfill \\
3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ ، $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x) = ....$ (الف
| 0/8- | 0/9- | 0/99- | 0/999 | $ \leftarrow $ | 1- | $ \to $ | 1/001- | 1/01- | 1/1- | 1/5- | 2- | $x$ |
| .... | .... | .... | .... | $ \leftarrow $ | $?$ | $ \to $ | .... | .... | .... | .... | .... | $f(x)$ |
4) تابع $f$ با ضابطه $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
3x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 2 \hfill \\
x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ را در نظر بگیرید:
الف) آیا تابع $f$ در نقطهٔ $x = 2$، تعریف شده است؟
ب) با رسم نمودار $f$ و یا نوشتن جدول مقادیر $f$ در همسایگی محذوف 2 مقدار $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)$ را بهدست آورید.
5) تابع $g$ با ضابطه $g(x) = \left\{ \begin{gathered}
- 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \mathbb{Z} \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \notin \mathbb{Z} \hfill \\
\end{gathered} \right.$ را در نظر بگیرید:
الف) نمودار $g$ را در فاصله $\left[ { - 4,2} \right]$ رسم کنید.
ب) با استفاده از نمودار $g$، حدود زیر را محاسبه کنید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = ....$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } g(x) = ....$
6) تابع $f$ با ضابطه $f(x) = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}$ را درنظر بگیرید:
الف) دامنه تابع $f$ را بهدست آورید.
ب) دامنه تابع شامل همسایگی محذوف کدام نقطه است؟
پ) آیا این تابع در همسایگی 0/9 تعریف شده است؟
ت) آیا تابع $f$ در همسایگی چپ $x = 1$ تعریف شده است؟ در همسایگی راست $x = 1$ چطور؟
7) اگر بازهٔ $(x - 1,2x + 3)$ یک همسایگی 2 باشد، مجموعه مقادیر $x$ را بهدست آورید.